一、考試基本要求及適用范圍概述

　　要求考生比較系統地熟悉高等代數的基本概念、掌握基本理論和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、有較強的運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

　　本考試大綱適用于數學一級學科碩士研究生（學碩）招生

　　入學考試初試。

　　二、題型結構

　　試卷滿分為 150 分，題型包含選擇題、填空題、計算題和

　　證明題等。

　　三、考試內容

　　1、 多項式：一元多項式運算法則；帶余除法定理，最大公因式概念及求法(輾轉相除法)；不可約多項式概念和因式分解唯一性定理；重因式、余數定理，零點(根)定理；復/實系數多項式的因式分解定理；有理系數多項式、整系數多項式和本原多項式的概念、性質及相互關系，整系數多項式的有理根的求法，Eisenstein 判別法

　　2、 行列式：排列及對換的概念，排列奇偶性的概念及判定；行列式的定義、性質及計算方法；行列式按一行（列）展

　　開，代數余子式，范德蒙德(Vandermonde)行列式；矩陣的定義和初等行、列變換，矩陣與行列式的區別；克拉默(Cramer) 法則及應用。

　　3、 線性方程組：線性方程組的高斯(Gauss)消元法；向量空間、線性相關、線性無關的概念與性質；矩陣的 k 級子式，矩陣秩的定義、性質及求法，向量組的極大線性無關組的求法；線性方程組有解的判定、線性方程組解的結構。

　　4、 矩陣：矩陣的基本運算，矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆的定義、性質及求法；矩陣分塊的概念和分塊矩陣的運算，初等矩陣、初等變換與矩陣的秩，分塊乘法的初等變換及應用。

　　5、 二次型：二次型的矩陣表示，矩陣的合同關系，對稱矩陣的概念和性質；用非退化線性變換化二次型為標準形，實、復二次型的規范型，慣性定理與慣性指數；正定、半正定二次型的概念、性質及判別方法。

　　6、 線性空間：集合、映射的定義與運算性質；線性空間的定義與簡單性質；維數、基與坐標的概念和性質，基變換與坐標變換；線性子空間的概念和性質，子空間的交與和的概念及性質，子空間的直和的定義及判別準則；線性空間的同構，同構映射的概念和性質。

　　7、 線性變換：線性變換的定義、運算及其簡單性質；線性變換的矩陣及其性質；矩陣的相似關系的定義及其性質；特征多項式、特征值與特征向量的定義、性質及計算；線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的條件（即矩陣相似于對角矩陣的條件）；線性變換的值域與核的概念及性質；不變子空間的概念，不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系；若當（Jordan）標準形的概念及應用；最小多項式的概念和性質及求法。

　　8、 -矩陣：-矩陣的定義及其秩、逆和初等變換；λ-矩陣在初等變換下的標準形；行列式因子、不變因子和初等因子的定義、性質及求法；矩陣相似的條件；復矩陣若當（Jordan）標準形的計算。

　　9、 歐幾里得空間：歐幾里得空間（含內積）的定義與基本性質；歐幾里得空間中基的度量矩陣，正交向量組、正交基、標準正交基的定義、基本性質及相互關系，施密特正交化方法；歐幾里得空間的同構；正交變換、正交矩陣的定義和性質；子空間的正交關系；對稱變換、實對稱矩陣的性質及其標準形的求法。

　　四、參考書目

　　北京大學數學系前代數小組編，王萼芳，石生明修訂，高等代數(第五版)，高等教育出版社，2019 年 5 月。