一、考試基本要求及適用范圍概述

要求考生比較系統(tǒng)地熟悉高等代數(shù)的基本概念、掌握基本理論和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力。

本考試大綱適用于數(shù)學(xué)一級(jí)學(xué)科碩士研究生（學(xué)碩）招生

入學(xué)考試初試。

二、題型結(jié)構(gòu)

試卷滿分為 150 分，題型包含選擇題、填空題、計(jì)算題和

證明題等。

三、考試內(nèi)容

1、 多項(xiàng)式：一元多項(xiàng)式運(yùn)算法則；帶余除法定理，最大公因式概念及求法(輾轉(zhuǎn)相除法)；不可約多項(xiàng)式概念和因式分解唯一性定理；重因式、余數(shù)定理，零點(diǎn)(根)定理；復(fù)/實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理；有理系數(shù)多項(xiàng)式、整系數(shù)多項(xiàng)式和本原多項(xiàng)式的概念、性質(zhì)及相互關(guān)系，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法，Eisenstein 判別法

2、 行列式：排列及對(duì)換的概念，排列奇偶性的概念及判定；行列式的定義、性質(zhì)及計(jì)算方法；行列式按一行（列）展

開，代數(shù)余子式，范德蒙德(Vandermonde)行列式；矩陣的定義和初等行、列變換，矩陣與行列式的區(qū)別；克拉默(Cramer) 法則及應(yīng)用。

3、 線性方程組：線性方程組的高斯(Gauss)消元法；向量空間、線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念與性質(zhì)；矩陣的 k 級(jí)子式，矩陣秩的定義、性質(zhì)及求法，向量組的極大線性無關(guān)組的求法；線性方程組有解的判定、線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

4、 矩陣：矩陣的基本運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆的定義、性質(zhì)及求法；矩陣分塊的概念和分塊矩陣的運(yùn)算，初等矩陣、初等變換與矩陣的秩，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用。

5、 二次型：二次型的矩陣表示，矩陣的合同關(guān)系，對(duì)稱矩陣的概念和性質(zhì)；用非退化線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，實(shí)、復(fù)二次型的規(guī)范型，慣性定理與慣性指數(shù)；正定、半正定二次型的概念、性質(zhì)及判別方法。

6、 線性空間：集合、映射的定義與運(yùn)算性質(zhì)；線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)；維數(shù)、基與坐標(biāo)的概念和性質(zhì)，基變換與坐標(biāo)變換；線性子空間的概念和性質(zhì)，子空間的交與和的概念及性質(zhì)，子空間的直和的定義及判別準(zhǔn)則；線性空間的同構(gòu)，同構(gòu)映射的概念和性質(zhì)。

7、 線性變換：線性變換的定義、運(yùn)算及其簡(jiǎn)單性質(zhì)；線性變換的矩陣及其性質(zhì)；矩陣的相似關(guān)系的定義及其性質(zhì)；特征多項(xiàng)式、特征值與特征向量的定義、性質(zhì)及計(jì)算；線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角矩陣的條件（即矩陣相似于對(duì)角矩陣的條件）；線性變換的值域與核的概念及性質(zhì)；不變子空間的概念，不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)系；若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形的概念及應(yīng)用；最小多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)及求法。

8、 -矩陣：-矩陣的定義及其秩、逆和初等變換；λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形；行列式因子、不變因子和初等因子的定義、性質(zhì)及求法；矩陣相似的條件；復(fù)矩陣若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算。

9、 歐幾里得空間：歐幾里得空間（含內(nèi)積）的定義與基本性質(zhì)；歐幾里得空間中基的度量矩陣，正交向量組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、基本性質(zhì)及相互關(guān)系，施密特正交化方法；歐幾里得空間的同構(gòu)；正交變換、正交矩陣的定義和性質(zhì)；子空間的正交關(guān)系；對(duì)稱變換、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)及其標(biāo)準(zhǔn)形的求法。

四、參考書目

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編，王萼芳，石生明修訂，高等代數(shù)(第五版)，高等教育出版社，2019 年 5 月。